Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
a) Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận vectơ uΔ = (a; b; c), với uΔ ≠ 0, làm một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của Δ là:
b) Nếu a, b, c đều khác 0 thì người ta còn viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau:
2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M0(x0; y0; z0), M'0(x'0; y'0; z'0) và có vectơ chỉ phương lần lượt là:
b) Xét hệ phương trình hai ẩn
Khi đó:
- d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ (I) có đúng một nghiệm
- d và d' chéo nhau khi và chỉ khi hai vectơ udud' không cùng phương và hệ (I) vô nghiệm.
3. Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương ud = (a; b; c) ; cho mặt phẳng (P) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi up = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:
với k là một số thực nào đó.
4. Tính khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho điểm A và đường thẳng Δ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là uΔ = (a; b; c) . Để tính khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ ta có hai cách:
Cách 1: Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng Δ
Bước 2: Khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm A và H: d(A, Δ) = AH
Lưu ý: Để tìm được H ta có thể làm như sau: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ, từ đó suy ra tọa độ của điểm H dưới dạng tham số. Sau đó ta tìm được tọa độ H dựa vào điều kiện
Cách 2. Sử dụng công thức
Hệ quả. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng song song Δ và Δ’. Gọi M, M' lần lượt là một điểm tùy ý trên Δ và Δ'. Khi đó ta có: d(Δ, Δ') = d(M, Δ') = d(M'; Δ)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ', trong đó Δ đi qua điểm M và vectơ chỉ phương là uΔ = (a; b; c); Δ' đi qua điểm M' và vectơ chỉ phương uΔ' = (a'; b'; c').
Để tính khoảng cách giữa hai đường thằng Δ và Δ' ta có hai cách
- Cách 1.
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng Δ' và song song với Δ
Bước 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ' chính là khoảng cách giữa Δ và mặt phẳng (Q): d(Δ, Δ') = d(Δ, (Q)) = d(M, (Q))
- Cách 2. Sử dụng công thức:
CÓ THỂ BẠN ĐANG TÌM